分析:①首先求出抛物线的焦点坐标,则c可求,结合椭圆的隐含条件及点M(1,
)在椭圆上,进一步列式可求椭圆方程;
②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析,当斜率不存在时,可以直接求出A,B,C,D四点的坐标,则
的值可求,当斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程及抛物线方程联立后,运用弦长公式把
用直线的斜率表示,然后利用基本不等式求其最值.
解答:解:如图,
①解法1:由抛物线方程为y
2=4x,得其焦点F(1,0),
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合,∴c=1.
故a
2-b
2=c
2=1 ①
又椭圆C
1经过点
M(1,),∴
+=1 ②
由①②消去a
2并整理,得,4b
4-9b
2-9=0,解得:b
2=3,或
b2=-(舍去),
从而a
2=b
2+1=4. 故椭圆的方程为
+=1.
解法2:由抛物线方程,得焦点F(1,0),
∴c=1.
∴椭圆C
1的左右焦点分别为F
1(-1,0),F
2(1,0).
∵椭圆
C1:+=1(a>b>0)经过点M(1,
),
∴
2a=+=4.
∴a=2,则a
2=4,b
2=a
2-c
2=4-1=3.
故椭圆的方程为
+=1.
②当直线l垂直于x轴时,
则A(1,
),B(1,
-),C(1,2),D(1,-2).∴
=.
当直线l与x轴不垂直,设其斜率为k(k≠0),则直线l的方程为:y=k(x-1).
联立
,得:(3+4k
2)x
2-8k
2x+4k
2-12=0.
△=(-8k
2)
2-4×(3+4k
2)×(-12)=64k
4+192k
2+144>0.
∴方程有两个不等的实数根.设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2).
则
x1+x2=,
x1x2=.
所以,
|AB|==
=
=
.
由
,得,k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0.
△=[-(2k
2+4)]
2-4k
4=16k
2+16>0,∴方程有两个不等的实数根.设C(x
3,y
3),D(x
4,y
4).
∵k≠0,∴
x3+x4=2+,
由抛物线的定义,得
|CD|=x3+x4+2=4+=.
∴
=•==
<.
综上,当直线l垂直于x轴时,
取得最大值
.
点评:本题考查了椭圆标准方程的求法,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想,考查了弦长公式,解答此类问题的关键是,常常采用设而不求的方法,即设出直线与圆锥曲线交点的坐标,解答时不求坐标,而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积,然后结合已知条件整体代入求解问题,此题是难题.