Question

16．直线y=$\sqrt{3}$x与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右两支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线交于P点，F是双曲线C的右焦点O是坐标原点，若|FO|=|MO|，则$\frac{|NP|}{|MP|}$等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据直线的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c为边长的等边三角形，得点N（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入双曲线方程并化简整理，得关于离心率e的方程，解之可得该双曲线的离心率，即可求出$\frac{|NP|}{|MP|}$．

解答 解：∵直线y=$\sqrt{3}$x交双曲左右两支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=$\sqrt{3}$，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c为边长的等边三角形，
得N（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入双曲线方程得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{3{c}^{2}}{4}}{{b}^{2}}$=1
将e=$\frac{c}{a}$和b²=c²-a²代入化简整理，
得$\frac{1}{4}$e²-$\frac{3}{4}•\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，e＞1，解之得e²=4+2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|NP|}{|MP|}$=$\frac{\frac{1}{2}c-\frac{{a}^{2}}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{1}{2}c}$=$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}+2}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题给出直线交双曲线于M、N两点，且在|ON|=c的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质和直线与双曲线位置关系等知识，属于中档题．