Question

7．过点P（0，2）可以作三条直线与函数y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+1相切，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，2\root{3}{3}）$
• B． $（2\root{3}{3}，+∞）$
• C． $（-2\root{3}{3}，2\root{3}{3}）$
• D． $（0，2\root{3}{3}）$

Answer 1

分析 设切点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点P代入切线方程，可得关于m的方程有三个不同的解，令g（x）=4x³-3ax²+6，利用导数求出g（x）的单调性和极值，即可得到m的取值范围．

解答 解：设切点为（m，$\frac{1}{3}$m³-$\frac{a}{2}$m²+1），
∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+1，
∴f'（x）=x²-ax
∴切线的斜率k=f′（a）=m²-am，
由点斜式可得切线方程为y-（$\frac{1}{3}$m³-$\frac{a}{2}$m²+1）=（m²-am）（x-m），
∵切线过点P（0，2），
∴2-（$\frac{1}{3}$m³-$\frac{a}{2}$m²+1）=（m²-am）（0-m），即4m³-3am²+6=0，
∵过点P（0，2）可以作三条直线与函数y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+1相切，
∴关于m的方程4m³-3am²+6=0有三个不同的根，
令g（x）=4x³-3ax²+6，
∴g′（x）=12x²-6ax=0，解得x=0或x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$＜0，x＜$\frac{a}{2}$时，g′（x）＞0，当$\frac{a}{2}$＜x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）上单调递增，在（$\frac{a}{2}$，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴当x=$\frac{a}{2}$时，g（x）取得极大值g（$\frac{a}{2}$）＞0，
当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=6＞0，不符合题意；
$\frac{a}{2}$=0，函数是单调函数，不符合题意；
当$\frac{a}{2}$＞0，x＞$\frac{a}{2}$时，g′（x）＞0，当0＜x＜$\frac{a}{2}$时，g′（x）＜0，当x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（$\frac{a}{2}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{a}{2}$）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=6＞0，
当x=$\frac{a}{2}$时，g（x）取得极小值g（$\frac{a}{2}$）＜0，
解得a＞$2\root{3}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．