Question

已知一次函数y=f（x），且f（f（x））=x+2，求：
（1）函数y=f（x）的解析式；
（2）画出函数y=|f（x）|的图象，并指出它的单调区间．

Answer 1

考点：一次函数的性质与图象

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），由f[f（x）]=9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．
（2）当x＞-1时，y=x+1，x=-1时，y=0，x＜-1时，y=-x-1，即可画出f（x）的图象，由图象即可得到单调区间．

解答： 解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），
则f[f（x）]=af（x）+b=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=x+2，
∴a²=1且ab+b=2，
解得，a=1，b=1或a=-1，b无解，
∴一次函数的解析式为：f（x）=x+1；
（2）函数y=|x+1|即y=

x+1，x≥-1 -x-1，x＜-1

的图象如图：
单调增区间为（-1，+∞），单调减区间为（-∞，-1）．

点评：本题考查一次函数的性质及图象，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于中档题．