Question

17．已知函数f（x）的导函数为f′（x）．满足xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{2e}$，则f（π）、f（2sin$\frac{5π}{7}$）、f（4）的大小关系为（　　）

• A． f（2sin$\frac{5π}{7}$）＜f（π）＜f（4）
• B． f（4）＜f（π）＜f（2sin$\frac{5π}{7}$）
• C． f（π）＜f（2sin$\frac{5π}{7}$）＜f（4）
• D． f（4）＜f（2sin$\frac{5π}{7}$）＜f（π）

Answer 1

分析 由已知可得[x²•f（x）]′=lnx，则x²f（x）=xlnx-x+c，结合f（e）=$\frac{1}{2e}$，求出c值，可得函数f（x）的解析式，利用导数法，分析函数的单调性，可得答案．

解答 解：∵xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴x²•f′（x）+2x•f（x）=lnx，
∴[x²•f（x）]′=lnx，
∴x²f（x）=xlnx-x+c，
又∵f（e）=$\frac{1}{2e}$，
∴e²f（e）=elne-e+c=$\frac{1}{2}$e，
∴c=$\frac{1}{2}$e，
∴f（x）=$\frac{xlnx-x+\frac{1}{2}e}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}•lnx+2{x}^{2}-ex}{{x}^{4}}$=$\frac{-{x}^{\;}•lnx+2{x}^{\;}-e}{{x}^{3}}$，
令g（x）=-x•lnx+2x-e，则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵4＞π＞2sin$\frac{5π}{7}$，
故f（4）＜f（π）＜f（2sin$\frac{5π}{7}$），
故选：B

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，恒成立问题，难度中档．