Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂和a₃的值；
（Ⅱ）若数列{

an+t

2n

}为等差数列，求实数t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件可知a₂=2a₁+2²=2×4+4=12；a₃=2a₂+2³=2×12+8=32．
（Ⅱ）由题设条件可知

a1+t

2

，

a2+t

22

，

a3+t

23

成等差数列，所以

4+t

2

+

32+t

8

=2×

12+t

4

，由此入手能够推导出实数t的值．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=4，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=2a₁+2²=2×4+4=12；a₃=2a₂+2³=2×12+8=32（4分）
（Ⅱ）∵数列{

an+t

2n

}为等差数列，∴

a1+t

2

，

a2+t

22

，

a3+t

23

成等差数列，∴

4+t

2

+

32+t

8

=2×

12+t

4

，解得t=0（8分）
当t=0时，

an+t

2n

=

an

2n

，此时

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

2an-1

2n

=2（定值）
∴数列{

an

2n

}为首项为2，公差为2的等差数列，（11分）
∴t=0．（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．