Question

如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4

3

）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；
（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；
（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？
（文科）求函数y的最大值．

Answer 1

分析：（1）结合函数的图象，推出周期的故选式，利用图象经过S，即可求出实数A和ω的值，求出M点的坐标即可求出M、P两点之间的距离；
（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，利用正弦定理求出MN、NP，即可求出用θ表示y的解析式；
（3）通过（2）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合θ的范围，求出折线段MNP最大值，（理）说明设计方案即可．

解答：解（1）结合题意和图象，可知

2π ω 4 =6 Asin6ω=4 3

，
解此方程组，得

ω= π 12 A=4 3

，于是y=4

3

sin 

π

12

x   x∈[0，8]．
进一步可得点M的坐标为

x=8 y=4 3 sin 8π 12 =6

．
所以，MP=

(8-16)2+(6-0)2

=10（km）．
（2）在△MNP中，∠MNP=120°∠NPM=θ，故

MN

sinθ

=

NP

sin(60°-θ)

=

MP

sin120°

．
又MP=10，
因此，y=

20

3

sinθ+

20

3

sin(60°-θ)（0°＜θ＜60°）．
（3）（文）把y=

20

3

sinθ+

20

3

sin(60°-θ)进一步化为：
y=

20

3

sin(60°+θ)（0°＜θ＜60°）．
所以，当θ=30°时 ymax=

20

3

=

20 3

3

（km）．
（理）把y=

20

3

sinθ+

20

3

sin(60°-θ)进一步化为：
y=

20

3

sin(60°+θ)（0°＜θ＜60°）．
所以，当θ=30°时 ymax=

20

3

=

20 3

3

（km）．
可以这样设计：连接MP，分别过点M、P在MP的同一侧作与MP成30°角的射线，记两射线的交点为N，再修建线段NM和NP，就可得到满足要求的最长折线段MNP赛道．

点评：本题是中档题，考查三角函数在解三角形中的应用，涉及正弦定理、三角函数的化简求值，最值的求法以及函数解析式的求法，关键要提高逻辑推理能力．