Question

16．方程sin²x-acosx=0在x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]有且仅有一解．则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≤0
• B． a＜-$\frac{3}{2}$或a=0
• C． a＜-$\frac{3}{2}$
• D． a＜0

Answer 1

分析 由已知可设t=cosx，利用y=t²+at-1的图象可知（-$\frac{1}{2}$）²+a×（-$\frac{1}{2}$）-1＞0，解得：a＜-$\frac{3}{2}$，当a=0时，sinx=0，x=π时，方程有且仅有一解也成立，从而得解．

解答 解：∵sin²x-acosx=0，可得cos²x+acosx-1=0，
∵x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]，依题意可知：cosx∈（-$\frac{1}{2}$，0），
∴设t=cosx，可得：y=t²+at-1的图象如图：

∵在t=cosx∈（-$\frac{1}{2}$，0）有一个交点，
∴（-$\frac{1}{2}$）²+a×（-$\frac{1}{2}$）-1＞0，解得：a＜-$\frac{3}{2}$，
又∵当a=0时，sinx=0，x=π时，也成立．
故选：B．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，二次函数的图象和性质，考查了转化思想，属于中档题．