Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B₁作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer 1

(1)＋＝1，e＝ ；(2) x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

试题分析：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F₂(c,0)．因为△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|＝|AB₂|，故∠B₁AB₂为直角，因此|OA|＝|OB₂|，得b＝.
结合c²＝a²－b²，得4b²＝a²－b²，故a²＝5b²，c²＝4b²，∴离心率e＝＝.
在Rt△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，故S△AB₁B₂＝|B₁B₂|·|OA|＝|OB₂|·|OA|＝b＝b².
由题设条件S△AB₁B₂＝4，得b²＝4，从而a²＝5b²＝20.
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)，知B₁(－2,0)，B₂(2,0)．由题意，知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程，得(m²＋5)y²－4my－16＝0.
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则y₁，y₂是上面方程的两根，因此y₁＋y₂＝，y₁·y₂＝－.
又＝(x₁－2，y₁)，＝(x₂－2，y₂)，
∴·＝(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝(my₁－4)(my₂－4)＋y₁y₂＝(m²＋1)y₁y₂－4m(y₁＋y₂)＋16＝－－＋16＝－.
由PB₂⊥QB₁，得·＝0，即16m²－64＝0，解得m＝±2.
∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．