Question

17．已知二次函数f（x）在y轴上的截距为3，且满足f（x+1）-f（x）=4x+2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先设f（x）=ax²+bx+3，再利用两方程相等对应项系数相等求出a，b，即可求f（x）的单调递增区间；
（2）由题意得2x²+3＞-3x+m在[-2，2]上恒成立．即2x²+3x+3＞m在[-2，2]上恒成立，找g（x）=2x²+3x+3在[-2，2]上的最小值即可确定实数m的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+3．
∵f（x+1）-f（x）=4x+2，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=4+2x．
即2ax+a+b=4x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{a+b=2}\end{array}\right.$，
∴a=2，b=0，
∴f（x）=2x²+3，
∴f（x）的单调递增区间是[0，+∞）；
（2）由题意得2x²+3＞-3x+m在[-2，2]上恒成立．
即2x²+3x+3＞m在[-2，2]上恒成立．
设g（x）=2x²+3x+3=2（x+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{15}{8}$，
∵x∈[-2，2]，∴x=-$\frac{3}{4}$时，g（x）的最小值为$\frac{15}{8}$．
∴m＜$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．