【题目】如图所示,在长方体中,已知,.
(1)求:凸多面体的体积;
(2)若为线段的中点,求点到平面的距离;
(3)若点、分别在棱、上滑动,且线段的长恒等于,线段的中点为
①试证:点必落在过线段的中点且平行于底面的平面上;
②试求点的轨迹.
【答案】(1)10;(2)(3)①证明见解析;②点的轨迹为以点M为圆心,为半径的圆在长方体内部的部分。
【解析】
(1)根据多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差,可得解;
(2)由点M到平面的距离即为点到平面的距离,即为点A到直线BD的距离,由三角形的等面积法可求解;
(3)①由点P到底面ABCD的距离为定值,得点P必在过的中点M,且平行于底面ABCD的平面上;
②由, ,得点的轨迹为以点M为圆心, 为半径的圆在长方体内部的部分。
解:(1)因为多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差,
所以,
所以;
(2)因为点M到平面的距离即为点到平面的距离,即为点A到直线BD的距离,
所以过A作交于N,则由三角形的等面积法得,所以,所以,
于是点M到平面的距离为;
(3)①因为点P到底面ABCD的距离为定值,所以点P必在过的中点M,
且平行于底面ABCD的平面上;
②连接EA,由于, ,
所以点的轨迹为以点M为圆心, 为半径的圆在长方体内部的部分。
故得解.
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【题目】如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第3季度内,洗衣机销量约占,电视机销量约占,电冰箱销量约占).根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 电视机销量最大的是第4季度
B. 电冰箱销量最小的是第4季度
C. 电视机的全年销量最大
D. 电冰箱的全年销量最大
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【题目】每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南某地区年10年间梅雨季节的降雨量单位:的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
假设每年的梅雨季节天气相互独立,求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率.
老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示,又知乙品种杨梅的单位利润为元,请你帮助老李分析,他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大?并说明理由.
降雨量 | ||||
亩产量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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【题目】对于正三角形,挖去以三边中点为顶点的小正三角形,得到一个新的图形,这样的过程称为一次“镂空操作“,设是一个边长为1的正三角形,第一次“镂空操作”后得到图1,对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2,对剩下的小三角形重复进行上述操作,设是第次挖去的小三角形面积之和(如是第1次挖去的中间小三角形面积,是第2次挖去的三个小三角形面积之和),是前次挖去的所有三角形的面积之和,则( )
A.B.C.D.
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【题目】设为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于、两点.
(1)若,求此时直线的方程;
(2)若与直线垂直的直线过点,且与抛物线相交于点、,设线段、的中点分别为、,如图,求证:直线过定点;
(3)设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、,若△的面积是△的面积的两倍,如图,求线段中点的轨迹方程.
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【题目】下列命题中:
①已知点,动点满足,则点的轨迹是一个圆;
②已知,则动点的轨迹是双曲线;
③两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;
④在平面直角坐标系内,到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线;
正确的命题是_________.
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【题目】已知抛物线:的焦点为,抛物线上存在一点到焦点的距离等于3.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线交抛物线于,两点,以线段为直径的圆交轴于,两点,设线段的中点为,求的最小值.
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【题目】实数a,b满足ab>0且a≠b,由a、b、、按一定顺序构成的数列( )
A. 可能是等差数列,也可能是等比数列
B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马,如图所示,在阳马中,底面.
(1)已知,斜梁与底面所成角为,求立柱的长;(精确到)
(2)求证:四面体为鳖臑.
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