【题目】(本小题满分12分)已知是定义在
上的奇函数,且
,当
,
时,有
成立.
(Ⅰ)判断在
上的单调性,并加以证明;
(Ⅱ)若对所有的
恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)f(x)在[-1, 1]上单调递增;(2)m=0或|m|≥2.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)任取
[-1, 1],且
,则-
[-1,1].因为f(x)为奇函数.
所以,
由已知得 >0,
,
所以,即
.
所以f(x)在[-1, 1]上单调递增.
(Ⅱ)因为f(1)=1, f(x)在[-1, 1]上单调递增,
所以在[-1, 1]上,f(x)≤1.
问题转化为,
即≥0,对a
[-1,1]恒成立.
下面来求m的取值范围.
设g(a)=≥0.
①若m=0,则g(a)=0,对a[-1, 1]恒成立。
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,
若g(a)≥0,对a[-1, 1]恒成立,必须g(-1)≥0,且g(1)≥0,
所以m≤-2或m≥2.
所以m的取值范围是m=0或|m|≥2.
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【题目】某校100名学生其中考试语文成绩的频率分布直方图所示,其中成绩分组区间是:
.
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示,
求数学成绩在之外的人数.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用 (单位:万元)与隔热层厚度
(单位:
)满足关系
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值。
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【题目】已知平行四边形中,
,
为
的中点,且△
是等边三角形,沿
把△
折起至
的位置,使得
.
(1)是线段
的中点,求证:
平面
;
(2)求证:;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目 | 新闻节目 | 总计 | |
20至40岁 | 40 | 18 | 58 |
大于40岁 | 15 | 27 | 42 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(2)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,以
为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,和平面内一点
(
),过点
任作直线
与椭圆
相交于
,
两点,设直线
,
,
的斜率分别为
,
,
,
,试求
,
满足的关系式.
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【题目】某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:
使用智能手机 | 不使用智能手机 | 合计 | |
学习成绩优秀 | 4 | 8 | 12 |
学习成绩不优秀 | 16 | 2 | 18 |
合计 | 20 | 10 | 30 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
经计算,则下列选项正确的是( )
A.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
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【题目】(1)求的展开式中
的系数及展开式中各项系数之和;
(2)从0,2,3,4,5,6这6个数字中任取4个组成一个无重复数字的四位数,求满足条件的四位数的个数.
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