Question

已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

6

3

，焦距为4，椭圆W的左焦点为F，过点M（-3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
（1）求椭圆W的方程；
（2）

CF

=λ

FB

（λ∈R）是否成立？并说明理由；
（3）求△MBC面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆W的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意可知

c a = 6 3 a2=b2+c2 2c=4

解得即可；
（2）点M坐标为（-3，0）．于是可设直线l的方程为y=k（x+3）．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（-2，0），C（x₁，-y₁）.

FC

=（x₁+2，-y₁），

FB

=（x₂+2，y₂）．
利用向量共线定理即可判断出；
（3）利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）设椭圆W的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意可知

c a = 6 3 a2=b2+c2 2c=4

解得a=

6

，c=2，b=

2

，
∴椭圆W的方程为

x2

6

+

y2

2

=1． 
（2）点M坐标为（-3，0）．于是可设直线l的方程为y=k（x+3）．
联立

y=k(x+3) x2 6 + y2 2 =1

得（1+3k²）x²+18k²x+27k²-6=0，
△=（18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）＞0，解得k2＜

2

3

．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-18k2

1+3k2

，x1x2=

27k2-6

1+3k2

，
y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
∵F（-2，0），C（x₁，-y₁）．∴

FC

=（x₁+2，-y₁），

FB

=（x₂+2，y₂）．
∵（x₁+2）y₂-（x₂+2）（-y₁）=（x₁+2）k（x₂+3）+（x₂+2）k（x₁+3）=k[2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12]
=k(

54k2-12

1+3k2

+

-90

1+3k2

+12)=

k(54k2-12-90k2+12+36k2)

1+3k2

=0．
∴

CF

=λ

FB

成立．
（3）由（2）可知：k2＜

2

3

．
由题意可知：S=

1

2

|MF| |y1|+

1

2

|MF| |y2|=

1

2

|MF| |y1+y2|
=

1

2

|k(x1+x2)+6k|=

3|k|

1+3k2

=

3

1 |k| +3|k|

≤

3

2 3

=

3

2

．当且仅当k2=

1

3

＜

2

3

，“=”成立，
∴k2=

1

3

时，△MBC面积S取得最大值．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．