Question

已知实数a,b满足：关于x的不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|对一切x∈R均成立
　　（1）验证a=-2 ,　　 b=-8满足题意；　　（2）求出满足题意的实数a，b的值，并说明理由；
　　（3）若对一切x>2，都有不等式x²+ax+b≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解析：（1）当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x²+ax+b|=|x²-2x-8|≤2|x²-2x-8|=|2x²-4x-16|=右边
　　∴此时所给不等式对一切x∈R成立
　　（2）注意到 2x²-4x-16=0 x²-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 x=-2或x=4　∴当x=-2或x=4时　　 |2x²-4x-16|=0
　　∴在不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|中分别取x=-2，x=4得　
　　又注意到（1）知当a=-2，b=-8时，所给不等式互对一切x R均成立。∴满足题意的实数a,b只能a=-2,b=-8一组
　　（3）由已知不等式x²-2x-8≥(m+2)x-m-15　　

对一切x>2成立 x²-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立 　　 ①
　　令 　 ②　　则（1） m≤g(x)的最小值　　　　　　　　　　
　　 　　又当x>2时，x-1>0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 （当且仅当 时等号成立）
　　∴g(x)的最小值为6（当且仅当x=3时取得） ③∴由②③得　　 m≤2　　　∴所求实数m的取值范围为（-∞，2]