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在直角坐标平面xoy中，已知点F₁（-5，0）与点F₂（5，0），点P为坐标平面xoy上的一个动点，直线PF₁与PF₂的斜率 $数学公式$ 都存在，且 $数学公式$ 为一个常数．
（1）求动点P的轨迹T的方程，并说明轨迹T是什么样的曲线．
（2）设A、B是曲线T上关于原点对称的任意两点，点C为曲线T上异于点A、B的另一任意点，且直线AC与BC的斜率k_AC与k_BC都存在，若 $数学公式$ ，求常数λ的值．

解：（1）设P（x，y），则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得y²-λx²=-25λ（x≠±5）
∴动点P的轨迹T的方程为y²-λx²=-25λ（x≠±5）
①λ＜-1时，轨迹T是一个焦点在y轴上且去除短轴的两个端点的椭圆；
②λ=-1时，轨迹T是一个圆心在坐标原点，半径为5且去掉与x轴的两个交点的圆；
③-1＜λ＜0时，轨迹T是一个焦点在x轴上且去除长轴的两个端点的椭圆；
④λ=0时，方程为y=0（x≠±5），轨迹T是去掉两个点的一条直线
⑤λ＞0时，轨迹T是一个焦点在x轴上且去除实轴的两个端点的双曲线；
（2）设点A（x，y），则点B（-x，-y），设C（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ①
∵A，C在曲线T上
∴y²=λx²-25λ（x≠±5）， $\text{[math]}$
代入①可得λ=- $\text{[math]}$
分析：（1）设P（x，y），求得 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 可得动点P的轨迹T的方程，对λ讨论，可得轨迹；
（2）设点A（x，y），则点B（-x，-y），设C（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，A，C在曲线T上，即可求得λ的值．
点评：本题考查轨迹与方程，考查斜率的计算，解题的关键是设点，利用斜率公式求解．

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在直角坐标平面xOy上的一列点A₁（1，a₁），?A₂（2，a₂），?…，?A_n（n，a_n），?…，简记为{A_n}、若由bn=

AnAn+1

•

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，n=1，2，…，其中

为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A_n}为T点列，
（1）判断A1( 1， 1)，?A2( 2，

)，?A3( 3，

)，?…，?An( n，

)，?…，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{A_n}为T点列，且点A₂在点A₁的右上方、任取其中连续三点A_k、A_k+1、A_k+2，判断△A_kA_k+1A_k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{A_n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：

AnAq

•

＞

AmAp

•

．

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在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由bn=

AnAn+1

•

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N）（其中

是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1），A2(2，

)，A3(3，

)…An(n，

2n-1

)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p．

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在直角坐标平面xOy内，已知向量

=（1，5），

=（7，1），

=（1，2），P为满足条件

（t∈R）的动点．当

•

取得最小值时，求：（1）向量

的坐标；（2）cos∠APB的值．

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在直角坐标平面xoy上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，简记为{A_n}．若由bn=

AnAn+1

•

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n（其中

是y轴正方向同向的单位向量），则称{A_n}为T点列．
（1）判断A1(1，1)，A2(2，

)，A3(3，

)…，An(n，

)，…是否为T点列；
（2）若{a_n}是等差数列，判断点列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否为T点列，并说明理由；
若{a_n}是等比数列，判断点列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否为T点列，并说明理由；
（3）若{A_n}为T点列，且点A₂在点A₁的右上方，任取其中连续三点A_K，A_K+1，A_K+2，判断△A_KA_K+1A_K+2的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并说明理由．

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（2012•闵行区三模）规定：直线l到点F的距离即为点F到直线l的距离，在直角坐标平面xoy中，已知两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）位于动直线l：ax+by+c=0的同侧，设集合P={l|点F₁与点F₂到直线l的距离之和等于2}，Q={（x，y）|（x，y）∉l，l∈P}．则由Q中的所有点所组成的图形的面积是

．

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