Question

4．方程${log_{\frac{1}{2}}}x={2^x}-2016$的实数根的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 无数个

Answer 1

分析 设f（x）=2^x-2016-$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，运用指数函数和对数函数的单调性，可得f（x）在（0，+∞）递增，计算f（10），f（11）的符号，由零点存在定理即可判断根的个数．

解答 解：设f（x）=2^x-2016-$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$
=2^x-2016+log₂x，
由y=2^x，y=log₂x为增函数，可得
f（x）在（0，+∞）递增，
由f（10）=2¹⁰-2016+log₂10＜0，
f（11）=2¹¹-2016+log₂11＞0，
可得f（x）在（10，11）内有且只有一个零点，
即有方程${log_{\frac{1}{2}}}x={2^x}-2016$的实数根的个数为1．
故选B．

点评 本题考查函数与方程的转化思想，考查方程的根与函数的零点问题的解法，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．