Question

4．实数x，y=$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}，\frac{10}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}，\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． [2，$\frac{10}{3}$]

Answer 1

分析 设k=$\frac{y}{x}$，则z=k+$\frac{1}{k}$，作出不等式组对应的平面区域，求出k的取值范围即可得到结论．

解答 解：设k=$\frac{y}{x}$，则z=k+$\frac{1}{k}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），则OA的斜率k=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），则OB的斜率k=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∴z=k+$\frac{1}{k}$≥2$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$=2，
当k=$\frac{1}{3}$时，z=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$，
当k=2时，z=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
则z的最大值为$\frac{10}{3}$，
则2≤z≤$\frac{10}{3}$，
即z的取值范围是[2，$\frac{10}{3}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．