练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2011•许昌三模）已知四棱锥S-ABCD中，AB=BC=CD=DA=SA=2，底面ABCD是正方形，SD=SB=2
    		2
    ．
    （I）在该四棱锥中，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；
    （Ⅱ）用多少个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1？说明你的结论．
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1的中点为N，棱DD1的中点为M，求二面角A-MN-C的大小的余弦值．
    分析：（I）根据勾股定理的逆定理，证出SA⊥AB且SA⊥AD，结合线面垂直判定定理证出SA⊥平面ABCD，从而得到结论：该四棱锥中存在侧棱垂直于底面；
    （II）根据正方体的定义与构造，并且作出示意图，可得正方体ABCD-A1B1C1D1由四棱锥A1-ABCD、四棱锥A1-B1BCC1和四棱锥A-DD1CC1组合而成；
    （III）由正方体的性质，可得△ANM与△CNM都等腰三角形，由“三线合一”证出AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角，再在△OMN中运用余弦定理即可算出二面角A-MN-C的余弦值．
    解答：解：（I）该四棱锥中，存在侧棱垂直于底面：SA⊥平面ABCD
    ∵SA=AB=2，AB=2
    		2
    ，
    ∴SA2+AB2=8=AB2，可得SA⊥AB
    同理可得SA⊥AD，
    ∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线
    ∴SA⊥平面ABCD；
    （II）用三个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2
    的正方体ABCD-A1B1C1D1
    它们分别为：四棱锥A1-ABCD（侧棱AA1⊥平面ABCD），
    四棱锥A1-B1BCC1（A1B1⊥平面B1BCC1），
    四棱锥A-DD1CC1（A1D1⊥平面DD1CC1）．它们的图形如右图所示；
    （III）根据正方体的对称性，得正方体ABCD-A1B1C1D1中，
    △ANM与△CNM都等腰三角形，
    设O为MN的中点，连结AO、CO、AC，则
    ∵AO、CO分别是等腰△ANM与△CNM的底边MN上的中线
    ∴AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角
    ∵△AOC中，AO=CO=
    		3
    ，AC=2
    		2

    ∴根据余弦定理，得
    cos∠AOC=
    AO2+CO2-AC2
    2×AO×CO
    =
    3+3-8
    2×
    		3
    ×
    		3
    =-
    1
    3

    因此，二面角A-MN-C的余弦值等于-
    1
    3
    ．
    点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求二面角的大小，着重考查了直线与平面垂直的判定定理、二面角的定义与求法和正方体的性质等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•许昌三模）已知向量
    a
    =(
    1
    2
    ，
    1
    2
    sinx+
    		3
    2
    cosx)    与 
    b
    =(1，y)    共线，设函数y=f（x）．
    （1）求函数f（x）的周期及最大值；
    （2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有f(A-
    π
    3
    )=
    		3
    ，边BC=
    		7
    ，sinB=
    		21
    7
    ，求△ABC的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•许昌三模）已知命题：p：“?x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“?x∈R，x2+2ax+2-a=0”，若命题“￢p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•许昌三模）已知a、b、c都是正整数且abc=8，求证：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•许昌三模）设l，m是两条不同直线，α是一个平面，则下列四个命题正确的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•许昌三模）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为p(p＞
    1
    2
    )    ，且各局胜负相互独立，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
    5
    9
    ，若右图为统计这次比赛的局数和甲乙的总得分数S，T的程序框图，其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．
    （I）求p的值；
    （Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列数学望Eξ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案