Question

已知函数f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x-1，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若存在x∈[

π

4

，

π

2

]，使得f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对三角函数的关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的整体思想求出函数的单调区间．
（2）首先根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x-1
=2（sin2x•

1

2

-cos2x•

3

2

）
=2sin(2x-

π

3

)
所以：f(x)=2sin(2x-

π

3

)
由x∈[

π

4

，

π

2

]．
所以：

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

2

，
得

π

4

≤x≤

5π

12

，
故递增区间为[

π

4

，

5π

12

]；
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
使得f（x）＜m成立，
只需满足m＞f（x）_min即可，
进一步求出f（x）的最小值为2sin

π

6

=1，
∴m＞1

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用函数的整体思想求出函数的单调区间，恒成立问题的应用，属于基础题型．