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设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
注:e为自然对数的底数.

解:(Ⅰ)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0.
所以f'(x)=-2x+a=-
由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),f(x)的减区间为(a,+∞).
(Ⅱ)证明:由题得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,
由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增
要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,
只要
解得a=e.
分析:(Ⅰ)直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减来求f(x)的单调区间即可.
(Ⅱ)先利用(Ⅰ)的结论求出f(x)在[1,e]上的最值,把原不等式转化为比较f(x)在[1,e]上的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数a.
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=x-aex-1
(Ⅰ)求函数f(x)单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≤0对x∈R恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)对任意n的个正整数a1,a2,…an记A=
a1+a2+…+an
n

(1)求证:
ai
A
e
ai
A
-1
(i=1,2,3…n)(2)求证:A
na1a2an

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
q
q-1
(an-1)
(q是常数且q>0,q≠1,).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当q=
1
3
时,试证明a1+a2+…+an
1
2

(3)设函数f(x)=logqx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),是否存在正整数m,使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
m
3
对任意n∈N*都成立?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-
a2

(1)求证:函数f(x)有两个零点.
(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,求|x1-x2|的范围.
(3)求证:函数f(x)的零点x1,x2至少有一个在区间(0,2)内.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|(x∈R)四位同学研究得出如下四个命题,其中真命题的有(  )个
①f(x)是偶函数;
②f(x)在(0,+∞)单调递增;
③不等式f(x)<2010×2011的解集为∅;
④关于实数a的方程f(a2-3a+2)=f(a-1)有无数解.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2006•杭州一模)设函数f(x)=
x2
ax-2
(a∈N*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-
1
m
成立.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)设{an}是各项非零的数列,若f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)
对任意n∈N*成立,求数列{an}的一个通项公式;
(3)在(2)的条件下,数列{an}是否惟一确定?请给出判断,并予以证明.

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