Question

1．已知函数f（x）=e^x-alnx的定义域是（0，+∞），关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；
②对于任意a∈（-∞，0），函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
③存在a∈（-∞，0），使得对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（0，+∞），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是①④．

Answer 1

分析 先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．

解答 解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，
①∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$=0，可以判断函数有最小值，①正确，
②∵a∈（-∞，0）∴f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$≥0，是增函数．所以②错误，
③画出函数y=e^x，y=-alnx的图象，如图：显然不正确．

④令函数y=e^x是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=e^x-alnx=0有两个根，正确．
故答案为：①④．

点评 本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．