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    函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-1处取得极值，且f(x)的图像在P(1，f(1))处的切线平行于直线y=8x.

    (Ⅰ)求函数f(x)的解析式和极值；

    (Ⅱ)对任意α、β∈R；求证|f(sinα)-f(cosβ)|≤．

    解：(Ⅰ)由已知得得

    ∴f(x)=x3+2x2+x．(4分) 则f′(x)=3x2+4x+1，

    由f′(x)=0得，x=-1或x=.

    x

    (-∞,-1)

    -1

    (-1,)

    (,+∞)

    f′(x)

    +

    0

    -

    0

    +

    f(x)

    增

    0

    减

    增

    ∴f(x)极大=f(-1)=0  f(x)极小=f()=.

    (Ⅱ)∵α、β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1．

    由(Ⅰ)知f(x)在[-1，1]上的最大、最小值分别为f(1)=4，f()=，

    ∴|f(sinα)-f(cosβ)≤4-()=．


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    （1）判断函数f(x)=
    x
    3
    +
    cosx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （2）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
    （3）设
    1
    5
    是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
    3
    2
    x2+3x-
    1
    4
    ，则它的对称中心为
    (
    1
    2
    ，1)
    (
    1
    2
    ，1)
    ；计算f(
    1
    2013
    )+f(
    2
    2013
    )+f(
    3
    2013
    )+…+f(
    2012
    2013
    )    =
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=-x3+
    1
    2
    ax2+b    ．
    （1）若y=f（x）在x=1处的极值为
    5
    2
    ，求y=f（x）的解析式并确定其单调区间；
    （2）当x∈（0，1]时，若y=f（x）的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求当0≤θ≤
    π
    4
    时a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•孝感模拟）命题p：方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一负根；
    命题q：函数f(x)=x3+mx2+(m+
    43
    )x+6    在R上有极值；
    若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    判断函数f(x)=
    x3(ax-1)ax+1
    (a＞0，a≠1)    的奇偶性，并加以证明．

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