Question

【题目】如图，已知动直线l过点 ，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为 ，求△OAB的面积；
（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为直线l的斜率为 ，所以直线l ，

则点O到直线l的距离 ，

所以弦AB的长度 ，

所以

（2）解：因为直线l的斜率为0，所以可知 、

设点C（x，y），则x2+y2=1，

又 ，

所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，

所以CA2+CB2的取值范围是[2，6]

（3）解：法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），

因直线l不与y轴重合，设直线l ，

代入圆O得 ，

所以 （*）

若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的定义，AQ与BQ的斜率互为相反数

有 ，又 ， ，

化简可得 ，

代入（*）式得 ，因为直线l任意，故 ，

即t=2，即Q（0，2）

解法二：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），

因直线l不与y轴重合，设直线l ，

代入圆O得 ，

所以 （*）

若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足 ，即 ，

化简可得 ，

代入（*）式得 ，因为直线l任意，故 ，

即t=2，即Q（0，2）

【解析】（1）因为直线l的斜率为 ，所以直线l ，利用弦长、半径、弦心距的关系，求得弦长及△OAB的高，即可求出面积．（2）因为直线l的斜率为0，所以可知 、 ，设点C（x，y），则x2+y2=1，又 =4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，即可得CA2+CB2的取值范围．（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），因直线l不与y轴重合，设直线l ，代入圆O得 ，所以 （*）由AQ与BQ的斜率互为相反数，可得 ，即求得t；解法二：若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1 ， 点B到y轴的距离d2满足 ，即 ，化简可得 ，同时求得t．