Question

已知关于x的不等式k4^x-2^x+1+6k＜0，
（1）若不等式的解集为（1，log₂3），求实数k的值；
（2）若不等式对一切x∈（1，log₂3）都成立，求实数k的取值范围；
（3）若不等式的解集为（1，log₂3）的子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过换元，利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；
（2）把此问题可以转化为恒成立问题解决即可；
（3）把问题转化为利用二次函数的图象与性质研究一元二次不等式的解集即可解决．

解答：解：（1）关于x的不等式k4^x-2^x+1+6k＜0可以化为k（2^x）²-2×2^x+6k＜0，
令2^x=t，∵1＜x＜log₂3，∴2＜t＜3，则不等式可化为kt²-2t+6k＜0，
∵关于x的不等式k4^x-2^x+1+6k＜0的解集为（1，log₂3），
∴（2，3）是不等式kt²-2t+6k＜0的解集，
∴2，3是方程kt²-2t+6k=0的两个实数根，且k＜0．
解得k=

2

5

；
（2）∵不等式对一切x∈（1，log₂3）都成立，
由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt²-2t+6k＜0恒成立，
等价于：k＜[

2t

t2+6

]min，t∈（2，3）．
令g(t)=

2t

t2+6

，t∈（2，3）．
则g′(t)=

-2(t2-6)

(t2+6)2

，令g^′（t）=0，解得t=

6

，
当2＜t＜

6

时，g^′（t）＞0，函数g（t）在(2，

6

)上单调递增；
当

6

＜t＜3时，g^′（t）＜0，函数g（t）在(

6

，3)上单调递减；
而函数g（t）在t=2，3处有意义，且g（2）=

2

5

，g（3）=

2

5

．
故k≤

2

5

；
（3）因为不等式的解集为（1，log₂3）的子集，
由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt²-2t+6k＜0的解集A⊆（2，3），
令f（t）=kt²-2t+6k，△=4-24k²，
则

k＞0 △≤0

，或

f(2)≥0，f(3)≥0 f( 1 k )＜0 2＜ 1 k ＜3

解得k≥

6

6

或

2

5

≤k＜

6

6

，
即k≥

2

5

．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系是解题的关键．