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设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2
【答案】分析:本题可用分析法与综合法来解答:法一,分析法:证明使a3+b3>a2b+ab2成立的充分条件成立.
法二,综合法:由条件a≠b推出:a2-2ab+b2>0,通过变形,应用不等式的性质可证出结论.
解答:解:证明:法一:(分析法)a3+b3>a2b+ab2 成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因为a>0,故只需证a2-ab+b2>ab成立,
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,由此命题得证.
法二:(综合法)∵a≠b,∴a-b≠0,∴a2-2ab+b2>0,∴a2-ab+b2>ab(*).
而a,b均为正数,∴a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)
∴a3+b3>a2b+ab2 成立.
点评:本题主要考查用分析法和综合法证明不等式,此题还可用比较法证明,体会不同方法间的区别联系,属于中档题.
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