Question

16．下列命题正确的是：①③（写出所有命题的正确序号）．
①函数y=sin（$\frac{5π}{2}$-2x）是偶函数；
②函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数；
③直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一条对称轴；
④函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象的一个对称中心是（-$\frac{π}{3}$，0）

Answer 1

分析 结合诱导公式化简函数解析式，进而判断奇偶性，可判断①；求出函数的单调递增区间，可判断②；分析函数的对称性，可判断③④．

解答 解：①函数y=f（x）=sin（$\frac{5π}{2}$-2x）=cos2x，满足f（-x）=f（x），是偶函数，故正确；
②由x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ]，k∈Z，
即函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的单调递增区间为：[-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ]，k∈Z，故错误；
③当x=$\frac{π}{8}$时，函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）取最小值，故直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一条对称轴，故正确；
④当x=-$\frac{π}{3}$时，函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）取最小值，故函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象的一条对称轴方程为x=-$\frac{π}{3}$，故错误；
故答案为：①③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的单调性，奇偶性和周期性，难度中档．