Question

12．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*，求a_n．

Answer 1

分析 把已知条件中的递推公式两边同时除以n（n+1），得到数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出a_n．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）×1=n，
∴${a}_{n}={n}^{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．