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精英家教网如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q,
(1)若
OA
OB
=2
,求c的值;
(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.
分析:(1)设过C点的直线的方程,与抛物线方程联立设出A,B的坐标则
OA
OB
可分别表示出来,根据
OA
OB
=2
求得-c-k2c+kc•k+c2=2,求得c.
(2)设过Q的切线方程,通过对抛物线方程求导求得切线的斜率,进而可表示出切线方程求得与y=-c的交点为M的坐标进而根据P为线段AB的中点,求求得Q点的坐标,根据x1x2=-c,进而可表示出M的坐标,判断出以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线.
(3)根据(2)可知点Q的坐标,根据PQ⊥x轴,推断出点P的坐标,进而求得
x1+x2
2
=
k
2
,判断出P为AB的中点.
解答:解:(1)设过C点的直线为y=kx+c,所以x2=kx+c(c>0),即x2-kx-c=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2y2)

因为
OA
OB
=2
,所以x1x2+y1y2=2,即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2,x1x2+k2x1x2-kc(x1+x2)+c2=2
所以-c-k2c+kc•k+c2=2,即c2-c-2=0,
所以c=2(舍去c=-1)

(2)设过Q的切线为y-y1=k1(x-x1),y/=2x,所以k1=2x1,即y=2x1x-2x12+y1=2x1x-x12
它与y=-c的交点为M(
x1
2
-
c
2x1
,-c)

P(
x1+x2
2
y1+y2
2
)=(
k
2
k2
2
+c)

所以Q(
k
2
,-c)

因为x1x2=-c,所以-
c
x1
=x2

所以M(
x1
2
+
x2
2
,-c)=(
k
2
,-c)

所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线.

(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q(
k
2
,-c)

因为PQ⊥x轴,所以P(
k
2
yP)

因为
x1+x2
2
=
k
2
,所以P为AB的中点.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
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OP
=x
OA
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OB
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6
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