Question

关于函数f（x）=

3

cos2x-sin2x，下列命题正确的是

（1）（4）

．
（1）函数f（x）的图象关于直线x=

11π

12

对称；
（2）函数f（x）在区间（-

π

12

，

5π

12

）内是增函数；
（3）任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|=kπ，k∈Z
（4）将函数y=2cos2x的图象向左平移

π

12

个单位后得到y=f（x）图象．

Answer 1

分析：先将三角函数进行化简，然后分别利用三角函数的图形和性质去判断．
（1）将x=

11π

12

代入，比较是不是最值；
（2）利用函数的单调性去判断区间；
（3）问题转化为求函数周期问题；
（4）通过平移对比两个表达式是否为同一个表达式．

解答：解：函数f（x）=

3

cos2x-sin2x=-2sin（2x-

π

3

）．
（1）当x=

11π

12

时，f（

11π

12

）=-2sin（2×

11π

12

-

π

3

）=-2sin

3π

2

=2为函数f（x）最大值，
所以x=

11π

12

是函数的一条对称轴，所以（1）正确．
（2）当x∈（-

π

12

，

5π

12

）时，-

π

6

＜2x＜

5π

6

，-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，此时函数单调递减，所以（2）不正确．
（3）由于任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则f（x₁）=f（x）|_最小值，f（x₂）=f（x）|_最大值，
则|x₁-x₂|=kπ，k∈N^*，故（3）不正确；
（4）由y=2cos2x的图象向左平移

π

12

个单位长度，
得到y=2cos2(x+

π

12

)=y=2cos(2x+

π

6

)=2sin[

π

2

-(2x+

π

6

)]=2sin(

π

3

-2x)═-2sin(2x-

π

3

)．
所以（4）正确．所以正确的是（1）（4）
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，先利用辅助角公式将三角函数进行化简，然后在研究相应的性质