Question

【题目】如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1 ， B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1 ， 四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1 ， A1C1=A1A，∠C1A1A= ，M为棱A1C1的中点．
（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1 ， 试确定点N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1 ， MN平面A1C′1D，
平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1 ， ∴MN∥A1D，
又M为棱A1C1的中点，∴MN为△A1C1D的中位线，
∴N为DC1的中点．
（Ⅱ）设A1B1=1，则A1A=1，A1C1=1，因为B为AD的中点，所以AD=2，因为△ABC≈△A1B1C1 ，
所以A1C1=AC，又平面ABC∥平面A1B1C1 ， 平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1 ， 平面ABC∩平面A1AOC1=AO，
∴A1C1∥AC，所以四边形A1ACC1是平行四边形，又A1C1=A1A，所以A1ACC1是菱形，又∠C1A1A= ，
A1M= ，∴ ，∴AM⊥A1C1 ， ∴AM⊥AC，∵AD⊥AA1 ， 平面AA1C1C⊥平面ADB1A1 ，
∴AD⊥平面AA1C1C，∴AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，
以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，
由题意可得：A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），C1（ ），∴ =（﹣2，1，0）， ，
设平面CC1D的法向量为： =（x，y，z），则 ，

令z=2 ，可得y=6，x=3，可得 =（3，6，2 ），平面MAD的一个法向量为： =（0，1，0），
平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值为：cosθ=|cos |
= = =
【解析】（Ⅰ）连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1 ， 推出MN∥A1D，说明MN为△A1C1D的中位线，得到N为DC1的中点．（Ⅱ）设A1B1=1，证明AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，求出相关点的坐标，求出平面CC1D的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．