Question

2．若f（x）是幂函数且函数图象经过点（2，2），g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+g（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设幂函数f（x）=x^α（α为常数）．把点（2，2）代入可得：2=2^α，解得α即可得出．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）．x∈（$\sqrt{2}$，+∞）．h′（x）=$\frac{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{{x}^{2}}$，可知：h（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是单调增函数，即可得出．

解答 解：（1）设幂函数f（x）=x^α（α为常数）．
把点（2，2）代入可得：2=2^α，解得α=1，
∴f（x）=x．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）．x∈（$\sqrt{2}$，+∞）．
h′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{{x}^{2}}$，
可知：h（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是单调增函数，
已知h（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是单调增函数，
∴0＜a≤2．
∴实数a的取值范围是0＜a≤2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、幂函数的解析式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．