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(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
(Ⅱ)已知△ABC的面积数学公式,且数学公式,求cosC.

解:
(1)①如图,在直角坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1
终边交⊙O于P2
角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4分)
②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα
sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]
=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ(6分)
(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA==bccosA=3>0
∴A∈(0,),cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=
由题意,cosB=,得sinB=
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(12分)
分析:(I)①建立单位圆,在单位圆中作出角,找出相应的单位圆上的点的坐标,由两点间距离公式建立方程化简整理既得;②由诱导公式cos[-(α+β)]=sin(α+β)变形整理可得.
(II),求出角A的正弦,再由,用cosC=-cos(A+B)求解即可.
点评:本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
(Ⅱ)已知△ABC的面积S=
1
2
AB
AC
=3
,且cosB=
3
5
,求cosC.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
(Ⅱ)已知cosα=-
4
5
,α∈(π,
3
2
π),tanβ=-
1
3
,β∈(
π
2
,π),cos(α+β)
,求cos(α+β).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(2)已知△ABC的面积S=
1
2
AB
AC
=3
,且cosB=
3
5
,求cosC.

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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题

(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
②由C(α+β)推导两角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求cosC。

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分12分) 

(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式

      2由推导两角和的正弦公式.

(Ⅱ)已知,求

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