Question

设函数f(x)=

cos(πx-π)+1  x∈( 1 2 ，1) ∪(1， 3 2 ) a                      x=1

，若关于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则满足题意的a的取值范围是 （　　）

• A．（0，1）
• B．(0，

  3

  2

  )
• C．（1，2）
• D．(1，

  3

  2

  )∪(

  3

  2

  ，2)

Answer 1

分析：题中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0等价于f（x）=

3

2

或f（x）=a，原方程有5个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，结合图象知，只有当f（x）=a时 有三个根，方能符合题意，由此即可求出结论．

解答：解：由题中方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0可得f（x）=

3

2

或f（x）=a
又此方程有且只有5个不同实数解，
 根据题意作出f（x）的简图：如右图
由于f（x）等于

3

2

时方程有两个不同实数解，
由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根才能保证关于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解．
所以有：1＜a＜2    ①．
再根据2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

     ②
结合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故选D．

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，本题解题的关键是可以结合函数的图象来确定解的个数，本题是一个综合题目．