Question

（2012•闸北区二模）如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线C：y2=

1

2

x(y≥0)上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，xn=

an-1+an

2

，yn=

an-an-1

2

．
（2）由

y

2 n

=

1

2

xn得 (

an-an-1

2

)2=

1

2

×

an-1+an

2

，即(an-an-1)2=an-1+an，猜测an=

n(n+1)

2

，
再用数学归纳法进行证明．
（3）用裂项法求得bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

的值为

2

(2n+ 1 n )+3

，由函数f(x)=2x+

1

x

在区间
[1，+∞）上单调递增，且

lim

n→∞

bn=0，求得bn∈(0，

1

3

]，再由 A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或a-1＞

1

3

，由此求得实常数a的取值范围．

解答：解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，xn=

an-1+an

2

，yn=

an-an-1

2

．…（4分）
（2）由

y

2 n

=

1

2

xn得 (

an-an-1

2

)2=

1

2

×

an-1+an

2

，
即(an-an-1)2=an-1+an，猜测an=

n(n+1)

2

．      …（2分）
证明：①当n=1时，可求得 a1=1=

1×2

2

，命题成立． …（1分）
②假设当n=k时，命题成立，即有ak=

k(k+1)

2

，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，
得[ak+1-

k(k+1)

2

]2=

k(k+1)

2

+an+1，
即(ak+1)2-(k2+k+1)ak+1+[

k(k-1)

2

]•[

(k+1)(k+2)

2

]=0
解得ak+1=

(k+1)(k+2)

2

，（ak+1=

k(k-1)

2

＜ak不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．   …（3分）
综上所述，对所有n∈N^*，an=

n(n+1)

2

．      …（1分）
（3）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=

2

n+1

-

2

2n+1

=

2n

2n2+3n+1

=

2

(2n+ 1 n )+3

．…（2分）
因为函数f(x)=2x+

1

x

在区间[1，+∞）上单调递增，且

lim

n→∞

bn=0，
所以bn∈(0，

1

3

]．…（2分）
A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或 a-1≥

1

3

，
故，a∈(0，-1]∪[

4

3

，+∞)，即 实常数a的取值范围为 (0，-1]∪[

4

3

，+∞)．…（2分）

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．