Question

9．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD=2BC，过 A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．
（1）证明：Q为BB₁的中点；
（2）若A₁A=4，CD=2，梯形 ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得平面QBC∥平面A₁AD，从而QC∥A₁D，由此能证明Q为BB₁的中点；
（2）在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E，∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

解答 （1）证明：∵BQ∥AA₁，BC∥AD，
BC∩BQ=B，AD∩AA₁=A，
∴平面QBC∥平面A₁AD，
从而平面A₁CD与这两个平面的交线相互平行，
即QC∥A₁D．
故△QBC与△A₁AD的对应边相互平行，
于是△QBC∽△A₁AD，
∴$\frac{BQ}{BB1}$=$\frac{BQ}{AA1}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{1}{2}$，即Q为BB₁的中点；               
（2）解：如图所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E．
又DE⊥AA₁，且AA₁∩AE=A，
∴DE⊥平面AEA₁，∴DE⊥A₁E．
∴∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．

∵BC∥AD，AD=2BC，∴S_△ADC=2S_△BCA．
又∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S_△ADC=4，AE=4．
于是tan∠AEA₁=$\frac{AA1}{AE}$=1，∠AEA₁=$\frac{π}{4}$．
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查面面平行的性质，考查四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题．