Question

直线l：3x+4y-12=0与x轴和y轴分别交于A，B两点，直线l₁和AB，OA分别交于点C，D，且平分△AOB的面积．
（1）求cos∠BAO的值；
（2）求线段CD长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据直线l的方程得到A，B的坐标，进而可得到|0A|、|OB|的长度，进而根据勾股定理求出|AB|的距离，即可得到cos∠BAO的值．
（2）先设|AC|=m，|AD|=n，根据cos∠BAO的值可求其正弦值，再由三角形的面积得到mn的值，再表示出|CD|的表达式结合基本不等式的内容可求得线段CD长度的最小值．

解答：解：（1）∵l：3x+4y-12=0，令x=0，可得y=3；令y=0，可得x=4；
即|OA|=4，|OB|=3∴AB=

32+42

=5，∴cos∠BAO=

AO

AB

=

4

5

（2）设|AC|=m，|AD|=n
由cos∠BAO=

4

5

，得sin∠BAO=

3

5

，
而S△AOB=

1

2

×3×4=6
∴S△ACD=

1

2

mnsin∠BAO=

1

2

mn×

3

5

=

1

2

S△AOB=

1

2

×6=3∴mn=10
又|CD|=

m2+n2-2mncos∠CAD

=

m2+n2-2mn× 4 5

=

m2+n2-16

≥

2mn-16

=

2×10-16

=2（当且仅当m=n时等号成立）
∴线段CD长度的最小值为2

点评：本题主要考查三角函数中余弦值的求法和余弦定理的应用、基本不等式的应用．考查基础知识的综合应用和灵活应用．三角函数题以基础为主，要强化其基础题得复习．