Question

【题目】已知函数f（x）=3x ， f（a+2）=27，函数g（x）=λ2ax﹣4x的定义域为[0，2]．
（1）求a的值；
（2）若λ=2，试判断函数g（x）在[0，2]上的单调性，并加以证明；
（3）若函数g（x）的最大值是 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：27=3a+2=33，∴a=1
（2）解：由（1）及λ=2得，g（x）=22x﹣4x．

任取0≤x1＜x2≤2，则x2﹣x1＞0，

∴g（x2）﹣g（x1）= =

= =

∵0≤x1＜x2≤2，∴ ，

∴ ＞0，

∴2﹣ ＜0，

∴ ＜0

即g（x2）﹣g（x1）＜0，

即g（x1）＞g（x2），

∴g（x）在[0，2]上是减函数

（3）解：设t=2x，∵0≤x≤2，

∴1≤2x≤4．

∴1≤t≤4．

y=﹣t2+λt= ，1≤t≤4．

①当 ＜1，即λ＜2时，ymax=λ﹣1= ，∴λ= ；

②当1≤ E≤4，即2≤λ≤8时，ymax= ，∴λ= [2，8]（舍）；

③当 ＞4，即λ＞8时，ymax=﹣16+4λ= ，∴λ= ＜8（舍）．

综上λ=

【解析】（1）根据函数表达式，结合题意得3a+2=27，利用指数的运算性质可得实数a的值；（2）利用单调性的定义证明即可；（3）令2x=t，可得g（x）=h（t）=﹣（t﹣ ）2+ ，其中t∈[1，4]．再根据二次函数的单调性进行分类讨论，分别建立关于λ的方程，解之并加以检验，最后综合可得函数g（x）的最大值是 时，实数λ的值 ．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．