Question

19、在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+2，求数列{b_n}的通项公式；
（2）{a_n}中是否存在不同的三项a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知的两个式子联立便可求出b_n+1与b_n的关系，然后求出b₁ 的值便可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）、不存在，根据数列{b_n}的通项公式可以求出{a_n}的通项公式，假设存在p，q，r满足题中条件，代入{a_n}的通项公式可得1+2^r-p=2^q-p+1，由于1+2^r-p为奇数，而2^q-p+1为偶数，故不存在满足条件的p，q，r．

解答：解：（1）b_n+1=a_n+1+2=（2a_n+2）+2=2（a_n+2）=2b_n，（2分）
又b₁=a₁+2=2，
所以，数列{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，（4分）
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ．（6分）
（2）由（1）得a_n=2ⁿ-2．（7分）
假设{a_n}中是否存在不同的三项a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＜q＜r，则（2^p-2）+（2^r-2）=2（2^q-2），（10分）
于是2^p+2^r=2^q+1，所以1+2^r-p=2^q-p+1．（12分）
因p，q，r∈N^*，且p＜q＜r，所以1+2^r-p是奇数，2^q-p+1是偶数，（14分）
1+2^r-p=2^q-p+1不可能成立，
所以不存在不同的三项a_p，a_q，a_r成等差数列．（16分）

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．