Question

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1，若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）-g（x）的零点即为，方程f（x）-g（x）=0的根，根据已知中函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，构造方程f（x）-g（x）=0，判断其△的与0的关系，即可得到结论．
（2）由已知中函数G（x）=f（x）-g（x）-1，我们可得到函数G（x）的解析式，分析二次函数G（x）的值域，进而根据对折变换确定函数y=|G（x）|的图象及性质，进而得到满足条件的实数m的取值范围．

解答：解：（1）证明∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m
又∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0时，
则△=（m-2）²-4（m-3）=（m-4）²≥0恒成立，
所以方程f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0有解
函数f（x）-g（x）必有零点
解：（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m
①令G（x）=0则△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）
当△≤0，2≤m≤6时G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x²+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是减函数，则2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6时|G（x）|=|x²+（2-m）x+m-2|
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数
所以方程x²+（2-m）x+m-2=0的两根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且x=

m-2

2

≤-1，得到m≤0
综合①②得到m的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，二次函数的性质，函数零点的判定定理，其中熟练掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键．