Question

【题目】已知a∈R，f（x）=aln（x﹣1）+x，f′（2）=2
（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y=g（x）；
（2）设h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=aln（x﹣1）+x，

导数f′（x）= +1，

则f′（2）=a+1=2，

解得a=1，f（x）=ln（x﹣1）+1，

f′（x）= +1，

可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1+1=2，

f（2）=ln1+1=1，

可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣1=x﹣2，

即为g（x）=x﹣1

（2）解：h（x）=mf′（x）+g（x）+1=m（ +1）+x，

对任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，

即为m（ +1）+x＞0，x∈[2，4]，

即有m +x＞0，

即为m＞（1﹣x）max，x∈[2，4]，

由1﹣x≤1﹣2=﹣1，可得m＞﹣1．

则实数m的取值范围是（﹣1，+∞）

【解析】（1）求得f（x）的导数，由题意解得a=1，求出曲线y=f（x）在x=2处的切线的斜率和f（2），由点斜式方程可得切线方程；（2）由题意可得m（ +1）+x＞0，x∈[2，4]，即为m＞（1﹣x）max ， x∈[2，4]，由一次函数的单调性，可得最大值，即可得到m的范围．