Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，且x=3是f（x）的极值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数图象y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅲ）求f（x）在[1，5]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+3，因为f'（3）=0，即27-6a+3=0，所以a=5（4分）
（Ⅱ） 由f（x）=x³-5x²+3x，f'（x）=3x²-10x+3，得切点P（1，-1），切线l的斜率是k=-4，于是l的方程是y-（-1）=-4（x-1）即4x+y-3=0（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=0，x∈[1，5]，解得x=3（9分）
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表

x	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f'（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	极小值 -9	↗	15	（12分）

因此，当x=3时，f（x）在区间[1，5]上取得最小值f（3）=-9；
当x=5时，f（x）在区间[1，5]上取得最大值f（5）=15（14分）
分析：（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=3代入求出a即可；
（Ⅱ）首先求出P点的坐标，然后根据导函数求出斜率，即可得出切线方程；
（Ⅲ）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[1，5]上的最大值和最小值．
点评：题主要考查多项式函数的导数，切线方程、函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、及分析与解决问题的能力，难度较大．