解:(1)∵函数f(x)=
x
3+
x
2+(a
2-3a)x-2a
∴函数f′(x)=x
2+(a-3)x+(a
2-3a)
则f′(x)-a
2=x
2+(a-3)x-3a=(x+a)(x-3)
若对任意x∈(1,2],f'(x)>a
2恒成立,
则对任意x∈(1,2],f′(x)-a
2>0恒成立
则a<-2.
(2)令f′(x)=0
则x=3或x=-a
则①x
1+x
2+a=3为定值;
②x
12+x
22+a
2=2a
2+9不为定值;
此时g(a)=2a
2+9,当a=0时有最小值9;
③x
13+x
23+a
3=27为定值;
(3)∵g(a)=2a
2+9,
∴H(x)=
[g(x)-27]=
(2x
2-18),
令F(x)=H(x)-e
x=
(2x
2-18)-e
x,
则F′(x)=
x-e
x,
当x∈(0,1)时,F′(x)<0恒成立
即F(x)在区间(0,1)上为减函数
当m,n∈(0,1)且m≠n时,不妨令m>n
则F(m)-F(n)=[H(m)-e
m]-[H(n)-e
n]<0
即[H(m)-e
m]<[H(n)-e
n]
即H(m)-H(m)<e
m-e
n,
即|H(m)-H(n)|<|e
m-e
n|
分析:(1)由已知中函数f(x)=
x
3+
x
2+(a
2-3a)x-2a,可求出f'(x)的解析式,根据二次函数的图象和性质可得对任意x∈(1,2],f'(x)>a
2恒成立时,实数a的取值范围;
(2)由(1)中f'(x)的解析式,可求出x
1x
2,进而判断出①x
1+x
2+a②x
12+x
22+a
2③x
13+x
23+a
3是否为定值及函数g(a)的解析式,及g(a)的最小值;
(3)根据(2)中g(a)的解析式,我们可以求出H(x)=
[g(x)-27]的解析式,构造函数F(x)=H(x)-e
x,利用导数法,可判断出F(x)在区间(0,1)上的单调性,进而判断出当m,n∈(0,1)且m≠n时,|H(m)-H(n)|与|e
m-e
n|的大小.
点评:本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,导数的运算,其中(1)的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质,(2)的关键是求出f(x)的两个极值点分别为x
1x
2,(3)的关键是构造函数F(x)=H(x)-e
x,并利用导数法判断出F(x)在区间(0,1)上的单调性.