【题目】已知抛物线:
(
)的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为
,椭圆
:
(
)的离心率为
,且过抛物线
的焦点.
(1)求抛物线和椭圆
的方程;
(2)过定点引直线
交抛物线
于
、
两点(
在
的左侧),分别过
、
作抛物线
的切线
,
,且
与椭圆
相交于
、
两点,记此时两切线
,
的交点为
.
①求点的轨迹方程;
②设点,求
的面积的最大值,并求出此时
点的坐标.
【答案】(1)
(2)①
②
有最大值为
点
坐标为
【解析】试题分析:1)由抛物线C2:x2=2py(p>0)的通径长为4,得p=2,由此能求出抛物线C2的方程.由题意C2焦点坐标为(0,1),,由此能求出椭圆C1的方程.
(2)①设,
,由点
、
、
三点共线得
,设切线
的方程为
,与抛物线方程
联立消去
,得
,可得
,即
,同理可得,切线
的方程为
联立两方程解得,点
坐标为
),由此能求出点C的轨迹方程.
②设l1与椭圆方程联立,得: ,由此利用韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出△DPQ的面积的最大值和此时点C的坐标.
试题解析:
(1)∵抛物线的通径长为
∴,得
∴抛物线的方程为
∵抛物线的焦点
在椭圆
上
∴,得
∵椭圆的离心率为
∴
∴椭圆的方程为
(2)设,
其中,
,
∵点、
、
三点共线
∴
∴(*)
设切线的方程为
,与抛物线方程
联立消去
,得
,由
,可得
即
同理可得,切线的方程为
联立两方程解得,点坐标为
①设点,则
,
代入(*)式得,点的轨迹方程为:
②由切线和椭圆
方程,消去
得:
,
∴,
∴
,
∵点到切线
的距离为
∴的面积为
∴当,
时,
有最大值为
此时,由(*)可得
∴点坐标为
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【题目】假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用
(万元),有如下的统计数据
由资料知
对
呈线性相关,并且统计的五组数据得平均值分别为
,
,若用五组数据得到的线性回归方程
去估计,使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元,
(1)求回归直线方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
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【题目】已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且 ﹣
=
,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N* , bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)n bn2}的前2n项和.
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【题目】随着互联网的发展,移动支付(又称手机支付)越来越普遍,某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,对15-65岁的人群随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗?”其中,回答“会”的共有个人,把这
个人按照年龄分成5组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,然后绘制成如图所示的频率分布直方图,其中,第一组的频数为20.
(1)求和
的值,并根据频率分布直方图估计这组数据的众数;
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人,求第1,3,4组抽取的人数;
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
与抛物线
相交于
、
两点.
(1)求证:“如果直线过点
,那么
”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的范围.
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【题目】现有某高新技术企业年研发费用投入(百万元)与企业年利润
(百万元)之间具有线性相关关系,近5年的年科研费用和年利润具体数据如下表:
年科研费用 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
企业所获利润 | 2 | 3 | 4 | 4 | 7 |
(1)画出散点图;
(2)求对
的回归直线方程;
(3)如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?
参考公式:用最小二乘法求回归方程的系数
计算公式:
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【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据.
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.
(相关公式:)
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