Question

2．如图，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若平面a平行于该正方体的体对角线BD，则平面a在该正方体上截得的图形不可能为②③④（填序号）
①正方形；②正三角形；③正六边形；④直角梯形．

Answer 1

分析 当平面a在该正方体上截得的图形为正三角形或正六边形时，平面与对角线BD一定不平行；正方体各面全等，并且每条对边互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，从而得到平面a在该正方体上截得的图形不可能为直角梯形．

解答 解：①当平面a过一条棱且与对角线BD平行时，
平面a在该正方体上截得的图形有可能为正方体；
②一个平面只有过正方体一个顶点和相对面的对角线以内的范围内的线，
去截正方体才有可能得到正三角形，图形如右图，
但此时这个平面与正方体的对角线BD不平行，
故平面a在该正方体上截得的图形不可能为正三角形；
③当平面截正方体的截面图形为正六边形时，
截面要经过六条棱的中点，图形如右图，
此时平面与对角线BD一定不平行，
故平面a在该正方体上截得的图形不可能为正六边形；
④正方体各面全等，并且每条对边互相平行，
但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，
∴平面a在该正方体上截得的图形不可能为直角梯形．
故答案为：②③④．

点评 本题考查平面a在该正方体上截得的图形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．