Question

1．棱长为1的正四面体的三视图中，俯视图为边长为1的正三角形，则正视图的面积的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]
• D． [$\frac{3}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]

Answer 1

分析 正视图的高等于四面体的高，等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$，底面边长的不大于棱长1，不小于边长为1的正三角形的高$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而得到答案．

解答 解：棱长为1的正四面体，若俯视图为边长为1的正三角形，
正视图的高等于四面体的高，等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
底面边长的不大于棱长1，不小于边长为1的正三角形的高$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故正视图的面积S∈[$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{6}}{3}$]=[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握正四面体的几何特征是解答的关键．