Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都经过点P（2，0），且在点P处有公切线，求f（x），g（x）的表达式及点P处的公切线方程．

Answer 1

解：∵函数f（x）=2x³+ax的图象经过点P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴点P处的切线斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵两函数图象在点P处有公切线
∵g′（x）=2bx
∴g′（2）=4b=16∴b=4
∴g（2）=16+c=0∴c=-16
∴g（x）=4x²-16∴点P处的公切线方程为：y=16（x-2），即16x-y-32=0．
分析：函数f（x）与g（x）的图象都经过点P（2，0），求得a，b值，求f（x），g（x）的表达式；再求出曲线方程的导函数，根据曲线方程设出切点坐标，把设出的切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把原点坐标代入切线方程中即可求出切点的横坐标，进而得到切点的纵坐标和切线的斜率，写出公切线方程即可．
点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．