Question

已知圆C：（x+1）²+（y-2）²=4
（1）若直线l：y=k（x-2）与圆C有且只有一个公共点，求直线l的斜率k的值；
（2）若直线m：y=kx+2被圆C截得的弦AB满足OA⊥OB（O是坐标原点），求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆的方程找出圆心C坐标，以及半径r，根据直线l与圆C有且只有一个公共点，得到直线l与圆C相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值即可；
（2）设直线m与圆C的两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA与OB垂直，利用两直线垂直时斜率满足的关系列出关系式x₁x₂=-y₁y₂，将直线m与圆C方程联立，利用韦达定理列出关系式，代入x₁x₂=-y₁y₂中计算求出k的值，即可确定出直线m方程．

解答：解：（1）由圆的方程得：圆心C（-1，2），半径r=2，
由直线l与圆C只有一个公共点，得到直线l与圆C相切，
∴圆心到直线l距离d=

|-3k-2|

k2+1

=2，
整理得：5k²+12k=0，即k（5k+12）=0，
解得：k=0或k=-

12

5

；
（2）设直线m与圆C的两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴x₁x₂=-y₁y₂，
联立直线m与圆C方程得：

y=kx+2① (x+1)2+(y-2)2=4②

，
将①代入②得：（x+1）²+（kx）²=4，即（k²+1）x²+2x-3=0，
∴x₁x₂=

-3

k2+1

，x₁+x₂=-

2

k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+2，
∴x₁x₂=-y₁y₂=-k²x₁x₂-k（x₁+x₂）-2，即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+2=0，
∴-3-

2k

k2+1

+2=0，即

2k

k2+1

=-1，
整理得：k²+2k+1=0，即（k+1）²=0，
解得：k=-1，
则直线m方程为y=-x+2．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线的一般式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．