Question

已知对任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n³，则

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

=

33

100

．

Answer 1

分析：首先由a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，求得a₂、a₃、a₄与a₅的值，观察得到规律为：a_n=3n（n-1）+1，即可求得a₁₀₀的值，代入

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

，再提取公因式

1

3

，由

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，即可求得结果．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，
∴a₁=1，a₁+a₂=8，a₁+a₂+a₃=27，a₁+a₂+a₃+a₄=64，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=125，
∴a₂=7，a₃=19，a₄=37，a₅=61，a_n=3n（n-1）+1，
∴a₁₀₀=3×100×99+1，
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

=

1

6

+

1

18

+

1

36

+

1

60

+…+

1

3×100×99

，
=

1

3

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

100×99

），
=

1

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

99

-

1

100

），
=

1

3

（1-

1

100

），
=

33

100

．
故答案为：

33

100

点评：本题主要考查了规律性问题，考查了学生的观察归纳能力．注意此题找到规律a_n=3n（n-1）+1与

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解题的关键，属于中档题．