Question

（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（I）求证：BD⊥PC；
（II）设AC与BD相交于点O，在棱PC上是否存在点E，使得OE∥平面PAB？若存在，确定点E位置．

Answer 1

分析：（I）利用勾股定理可得DB，利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，即BD⊥DC，再利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BD，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（II）存在点E，使得OE∥平面PAB，此时PE=

1

5

PC．在PC上取点E使得PE=

1

5

PC，连接OE．利用平行线分线段成比例定理可得

AD

BC

=

AO

OC

=

1

4

，
而

PE

EC

=

AO

OC

=

1

4

，即可得到OE∥PA．利用线面平行的判定定理即可证明．

解答：证明：（Ⅰ）在Rt△ABD中，∵AD=1，AB=

3

BD2=AB2+AD2=(

3

)2+12=4，∴BD=2．
∴∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°．
在△BCD中，由余弦定理得DC²=2²+4²-2×2×4cos60°=12，
∴DB²+DC²=BC²，
∴∠BDC=90°．∴BD⊥DC．
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．
又PD∩DC=D，∴BD⊥平面PDC．
∴BD⊥PC．
（II）存在点E，使得OE∥平面PAB，此时PE=

1

5

PC．证明如下：
在PC上取点E使得PE=

1

5

PC，连接OE．
由AD∥BC，

AD

BC

=

AO

OC

=

1

4

，
∴

PE

EC

=

AO

OC

=

1

4

，可得OE∥PA．
又∵PA?平面PAB，OE?平面PAB，
∴OE∥平面PAB．

点评：本题综合考查了余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力和推理能力及计算能力．