Question

14．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜3}，求不等式cx²+bx+a＞0的解集．
（2）若不等式f（x）≥0在实数集上恒成立，且a＜b，求T=$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜3}，求不等式cx²-bx+a＞0的解集．
（2）从二次函数的二次项系数及判别式限制，得到a，b，c满足的不等关系；将M中的c利用得到的不等关系去掉；将代数式变形，利用基本不等式求出最小值，

解答 解：（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜3}，
则-2，3是对应方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＜0，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2+3=-\frac{b}{a}=1}\\{-2×3=\frac{c}{a}=-6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b=-a}\\{c=-6a}\end{array}\right.$，
则不等式cx²+bx+a＞0等价为-6ax²-ax+a＞0，
即6x²+x-1＞0，
即（2x+1）（3x-1）＞0，
解得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集为{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{2}$}．
（2）若不等式f（x）≥0在实数集上恒成立，且a＜b，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$，
∵b＞a＞0，∴b-a＞0，
∵b²≤4ac得c$≥\frac{{b}^{2}}{4a}$，
则$T=\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{{（2a+b）}^{2}}{4a（b-a）}=\frac{{[3a+（b-a）]}^{2}}{4a（b-a）}$ $≥\frac{4（b-a）×3a}{4a（b-a）}=3$，
$当且仅当3a=b-a且c=\frac{{b}^{2}}{4a}$即c=b=4a时，取等号．

点评 主要考查了一元二次不等式的求解以及二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．考查学生的运算能力．